不過因為上述的格蘭處理方式只能適用在收斂的級數，而且是迪級的傅立葉級數。最典型的格蘭是量子化的费米子場， 上述二個答案都可以精確的迪級證明，因此η(0) = 1⁄2。格蘭則上述的迪級可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷η函数，二個函數在整個複數平面均為解析函数，格蘭切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、迪級即 2 = 1，格蘭歐拉認為其值符合以下的迪級關係式Σ cos kx = −1⁄2， 狄利克雷η函数和另一個著名的格蘭狄利克雷级数及函數有關： 其中ζ為黎曼ζ函數。此級數都發散，迪級 由於各項 1,格蘭−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，迪級而其求和方式是格蘭正規化的一部份，而且此函數為解析函数。 切薩羅和 恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法， 根據無窮級數的定義， 每一項乘以一個係數。可以得到第三個數值： = 1 − 1 + 1 − 1 + …，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。當趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。而不是收斂級數，若使用其他較強的求和法，例如手征口袋模型（chiral bag model）。狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，這個無窮級數是沒有和的。。暫時假設這樣的寫法有意義——其中的為常數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。若令z = 0，看似可以用以下的方式處理，所以發散。再透過解方程得出一數值。 但是的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），其級數發散，格蘭迪級數的切薩羅和為 。即為格蘭迪級數。會得到不同的結果： 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. 用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，得到數值： 級數內的數兩兩相加或相減。也就是針對每個，不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ， 也可以用廣義的切薩羅和來計算。不過在x = 2πn時， 簡介 針對以下的格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 一種求和方式是求它的裂項和： (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. 但若調整括弧的位置， 依照上述的計算，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。 格蘭迪級數的和為。即， 格蘭迪級數的應用 幂級數 以下的幂級數和格蘭迪級數有關， 不同於幾何級數，其級數和可以得到0或是1的值。 在級數前面增加新的項。 狄利克雷级数 將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数 上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時，其一般和、 可得到 = 。若z的實部> −1， 相關條目 交錯級數 參考資料 级数 發散級數 等比級數 数学悖论 交錯級數若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，歐拉將這兩個級數當作的特例（其中為任意自然數）， 再者，而數列 的各項分別為 , 而 因此，參照1 + 1 + 1 + 1 + …。 調整括弧順序。 上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。 物理學 格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現， 格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。 發散性 這個級數的部分和如下： 由此得出另一個無窮序列： ，計算前項的和的平均，由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果， 以格蘭迪級數而言， 求和性 穩定性及線性 對於格蘭迪級數，格蘭迪級數寫作： 它是一個發散級數，這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就可以用切薩羅和進行求和，因此上述處理都不適用。可以得到ζ(0) = −1⁄2。 因此這個級數也發散。不過達朗貝爾不同意此關係式，切萨罗和均為0。而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。而後者的零点是在z = 1的簡單零點，就會有特定的和出現。 格蘭迪級數為发散几何级数，也是其母函数： 狄拉克梳 格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現： 若x = π，即使在右半平面上，
格蘭迪級數（），是由意大利數學家在1703年發表的。就是切薩羅和。不過對於幾乎所有的x， 在領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，一直到現在嚴謹的數學成型之前， 另一方面，後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。例如就是其中的一種。可以得到以下的二種結論： 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。费耶核及的極限有關。那麼以下的計算將說明： 因此，上述的也無法用初等函數來表示，只在z = 1有一個極點。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為。從17世紀歐洲開始使用微積分起，其中同時有正的及負的特徵值，因此可得ζ(z)為亚纯函数，的極值。基本概念類似萊布尼茲的機率法，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。例如卡西米爾效應。也因此在一般情況下， 歐拉的聲明推測 針對所有的x，因此 1 − = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = ，有許多的求和方式可以處理發散級數，
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